优化设计概述.pdf

现代设计理论与方法 第1章第2章

内容 优化设计概述优化方法的数学基础一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法第3章第4章第5章

第1篇优化设计方法 Optimization

第6章多目标优化第7章机械设计优化实例第8章 MATLAB基础第9章 MATLAB优化计算

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第1章优化设计概述 1.1 1.2 1.3 1.4引言优化设计问题的示例优化设计的数学模型优化问题的几何解释和基本解法

1.1引言 自古以来的多数工程设计，都经过了某种程度的“优化”过程 1.传统的设计过程：设计(综合)评价(分析)选用(决策)满意方案 2.“评价——再设计”的过程： (a)经验和知识； (b)试验； (c)优胜劣汰 4

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3、最优化方法的发展⑴ 17世纪在欧洲就有人提出各种求最大、最小的问题，但发展缓慢⑵二战中，军事上的需要产生了运筹学，最优化理论和方法逐渐得到丰富和发展⑶ 20世纪60年代以来，发展迅速，已成为一门新兴的学科，应用广泛①近代科技和生产发展的需要②计算机技术的飞速发展 5

4、机械优化设计 ◆优化设计：借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案

☆机械优化设计包括： (1)、将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2)、选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解☆机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计 的最优方案，所以需要应用机械工程的专业知识(有限元、可靠性设计、CAD等)确定设计的限制条件和所追求的目标 6

5、设计流程

6、最优化方法的应用 ⑴整个或部分系统的设计⑶工程分析和数据拟和⑵生产规划⑷动态系统的最优控制

美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻 传统设计流程优化设计流程 7

自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。 8

1.2优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括： (1)必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型； (2)选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。 9

例1:箱盒的优化设计 已知：制造一体积为100m3,长度不小于5m,不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1,宽x2,高x3,使箱盒用料最省。分析： (1)箱盒的表面积的表达式； (2)设计参数确定：长x1

,宽x2,高x3; (3)设计约束条件： x2 (a)体积要求； x1 (b)长度要求； x3 10

数学模型 设计参数：

例2:生产资源分配问题

x1, x2, x3

设计目标： min S= x1 x2+ 2( x2 x3+ x1 x3 )约束条件： x1≥ 5 x2 x1 x3

某工厂生产A和B两种产品，A产品单位利润为PA万元， B产品单位利润为PB万元。每生产一个A产品需消耗煤aC吨，电 aE度，人工aL个人日；每生产一个B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使利润最大。分析： (1)利润的表达式； (2)设计参数确定： A产品xA, B产品xB; (3)设计约束条件： (a)生产资源煤约束； (b)生产资源电约束； (b)生产资源劳动力约束； 12

x2≥ 0 x3≥ 0 x1 x2 x3= 100 11

数学模型 设计参数：设计目标：约束条件：

例3:直齿圆柱齿轮副的优化设计

x A, xB max P= PA xA+ PB xB

已知：传动比i,转速n,传动功率P,大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析： (1)圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； (2)设计参数确定：模数m,齿宽b,齿数z1; (3)设计约束条件： (a)大齿轮满足弯曲强度要求； (b)小齿轮满足弯曲强度要求； (c)齿轮副满足接触疲劳强度要求； (d)齿宽系数要求； (e)最小齿数要求。 14

aC x A+ bC xB≤ C aE x A+ bE xB≤ E aL x A+ bL xB≤ L 13

数学模型 设计参数：

建立优化设计数学模型的步骤

m, z1, b ρ 4

设计目标： min W=约束条件：

π b[(mz1 ) 2+ (miz1 ) 2]

σ F 1 [σ]F 1≤ 0σ F 2 [σ]F 2≤ 0σ H [σ]H 1≤ 0 b 1.2mz1≤ 0 17 z1≤ 0 15

1)根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。 2)对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量 3)根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数 4)必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响 16

1.3优化设计的数学模型 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础

设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题

☆设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以 是一些化学成分的含量或电路

参数等(设计元素)

x=[ x1, x2,L, xn]T

工程模型/物理模型数学模型 数学模型：设计变量、目标函数、约束条件

☆由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设 计空间。一个“设计”,可用设计空间中的一点表示

1、设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。 17

☆设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个 设计变量，则称为n维设计问题

☆设计变量有连续变量和离散变量之分 18

只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1(a)所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1(b)所表示的空间直角坐标表示。

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。

图1-1设计变量所组成的设计空间 (a)二维设计问题 (b)三维设计问题

目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。

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2、约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束根据约束的性质可以把它们区分成性能约束和边界约束两大类。边界约束=侧面约束

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。 (1)等式约束

h( x )= 0

(2)不等式约束

g ( x)≤ 0 可行域:凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围 .约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数(变形、应力、频率等)复杂结构的性能约束函数(变形、应力、固有 22频率等)需要通过有限元等方法计算求得

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3、目标函数使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，记作f(x)。建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。单目标函数多目标函数 在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这是多目标函数的问题。例如，设计一台机器，期望得到最低

的造价和最少的维修费用 23

4.优化设计问题一般数学形式 求设计变量向量使满足约束条件：

x=[ x1, x2,L, xn]T f ( x )→ min

hk ( x )= 0 g j ( x)≤ 0 min f ( x ), x∈ R s.t. g j ( x )≤ 0 j= 1,2,L, m hk ( x )= 0 k= 1,2,L, l n

(k= 1,2,L, l ) ( j= 1, 2,L, m)

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5优化模型的分类 (1)根据是否存在约束条件有约束问题和无约束问题。 (2)根据设计变量的性质静态问题和动态问题。 (3)根据目标函数和约束条件表达式的性质线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。

(a)非线性规划 目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。

min u= f ( x ) x∈

s. t. hi ( x )= 0, i= 1,2,..., m. g i ( x )≤ 0( g i ( x )≥ 0), i= 1,2,..., p.

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(b)线性规划(LP) 目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。

(c)二次规划问题 目标函数为二次函数，约束条件为线性约束

min u=

∑ ci xi i=1

n

min u= f ( x )=∑ ci xi+ i=1 n

n

1 n∑ bij xi x j 2 i, j=1

n ∑ a ik x k= bi, i= 1, 2,..., n. s.t . k=1 x≥ 0, i= 1, 2,..., n. i 27

∑ a ij x j≤ bi, i= 1, 2,..., n. s.t . j=1 x≥ 0 .i= 1, 2,..., n. i 28

(4)根据设计变量的允许值 整数规划(0-1规划)和实数规划。

6.优化设计一般步骤

问题分析

建立数学模型

选择优化方法

(5)根据变量具有确定值还是随机值 确定规划和随机规划。

编写计算机程序

准备初始数据，上机计算 否

方案评价与决策 是

确定最优设计方案 29 30

优化设计流程图