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优化设计概述

一、优化设计内涵

优化设计英文名是optimization design，从多种方案中选择最佳方案的设计方法。它以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各种约束条件下，寻求最优的设计方案。

第二次世界大战期间，美国在军事上首先应用了优化技术。1967年，美国的R.L.福克斯等发表了第一篇机构最优化论文。1970年，C.S.贝特

勒等用几何规划解决了液体动压轴承的优化设计问题后，优化设计在机械设计中得到应用和发展。随着数学理论和电子计算机技术的进一步发展，优化设计已逐步形成为一门新兴的独立的工程学科，并在生产实践中得到了广泛的应用。通常设计方案可以用一组参数来表示，这些参数有些已经给定，有些没有给定，需要在设计中优选，称为设计变量。如何找到一组最合适的设计变量，在允许的范围内，能使所设计的产品结构最合理、性能最好、质量最高、成本最低（即技术经济指标最佳），有市场竞争能力，同时设计的时间又不要太长，这就是优化设计所要解决的问题。

工程优化设计问题中绝大多数问题都属于约束优化问题，若无约束优化问题的目标函数是一元函数，则称它为一维优化问题；若是二元或二元以上函数，则称它为多维无约束优化问题。

二、一维优化方法

对一维目标函数求最优解的过程，称为一维优化（或一维搜索），求解时使用的方法称为一维优化方法。

一维搜索方法主要包括以下几种：分数法、黄金分割法（0.618）、二次插值及三次插值法等。

在实际计算中，黄金分割法是最常用的一维搜索试探方法，也称

0.618法。黄金分割法是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。该法的基

本思路是：通过比较单峰值区间内两点的函数值，不断舍弃单峰区间的左端或右端一部分，使区间按照固定区间缩短率（缩小后的新区间与原区间长度之比）逐步缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内，从而得到近似最优解。黄金分割法的内分点选取必须遵循每次区间缩短都取等区间缩短率的原则。

三、无约束优化方法

多维约束优化方法是优化技术中最重要和最基本的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且在实际工程设计问题中的大量约束优化问题来求解。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。

坐标轮换法是求解多维无约束化问题的一种直接法，它不需要求函数导数而直接搜索目标函数的最优解，该法又称降维法。坐标轮换的基本原理是：它将一个多维无约束优化问题转化为一系列一维优化问题来求解，即依次沿着坐标轴的方向进行一维搜索，求得极小点。坐标转换法的特点是：计算简单，概念清楚，易于掌握，但搜索路线较长，计算效率较低，特别是当维数很高时，计算时间很长，所以坐标转换法只适合用于低维优化问题的求解。另外，该法的效能在很大程度上取决于目标函数的性态，即等值线的形态与坐标轴的关系。

牛顿法也是优化方法中一种经典的方法，是一种解析法。此法为梯度法的进一步发展，它的搜索方向是根据目标函数的负梯度和二阶偏导数矩阵来构造的。牛顿法包括原始牛顿法和阻尼牛顿法

。

四、约束优化方法

近年来，遗传算法在机械优化设计中的应用越来越广泛，它是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜

索算法，最早是在1975年由美国的Holland教授提出的，起源于20世纪60年代对自然和人工自适应系统的研究。遗传算法作为一种实用、高效、鲁棒性强的优化技术，发展极为迅速，在各种不同领域中得到了广泛应用，引起了许多学者的关注。遗传算法是从达尔文进化论中的进化过程所形成的一种优化求解方法。尽管这种自适应寻优技术可用来处理复杂的线性、非线性问题，但它工作机理十分简单。与传统方法相比，遗传算法比较适应于求解不连续、多峰、高维、具有凹凸性的问题，而对于低维、连续、单峰等简单问题，遗传算法不能显示其优越性。另外，比较常用的启发式算法还有粒子群算法与神经网络算法，等等。

复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数值最大的顶点（称为最坏点），然后

按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并以此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。

由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数及约束函数的形状又无特殊要求，因此该法的适应性较强，在机械优化设计中的到广泛应用。

五、多目标优化方法

多目标优化问题的求解方法有很多，其中最主要的有两大类：一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解，属于这类方法的如合适等约束法等；另一类是将多目标优化问题求解时做合适的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是将多目标优化问题重新构造一个函数，及评价函数，从而将多目标优化问题转化为求评价函数的单目标优化问题；另一种是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题来求解。属于这一大类的前

一种方法有：主要目标法、线性加权合法、理想点法、平方和加权法、分

目标等除法、功率系数法—几何平均法、以及极大极小法等。属于后一种

的方法有分层序列法等。此外，还有其它类型的方法，如协调曲线法等。

在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价其优劣，往往要同时考虑多个目标。在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，在约束

条件下，各个目标函数不是同等地被优化，而是按不同的优先层次先后地

进行优化。多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优，如能获得这

样的结果，当然是十分理想的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不

一定都可以比较出优劣，因此只能是半有序的。对所目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特

点。这样，在单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中

得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求得能接受的最好

非劣解，关键是要选择某种形式的折中。

主要目标法的基本思想为：假设按照设计准则建立了q个分目标函数，可以根据这些准则的重要程度，从中选择一个重要的作为主要设计目标，将其他目标作为约束函数处理，从而构成一个新的单目标优化问题，并将

该单目标优化问题的最优解作为所求多目标问题的相对最优解。

统一目标函数是指将各个分目标函数按照某种关系建立一个统一的目标函数。

六、工程优化设计应用

进行实际工程问题的优化设计，一般步骤如下：

①建立数学模型。

②选择最优化算法。

③程序设计。

④制定目标要求。

⑤计算机自动筛选最优设计方案等。通常采用的最优化算法是逐步逼近法，

有线性规划和非线性规划。